游三角公圆
三角形和圆形是我们学习数学时常见的几何图形，它们的性质和应用十分广泛。今天我们一起来探索一下三角公圆。
一、什么是三角公圆？
三角公圆指的是一个圆，它与一个三角形的三条边都相切。如下图：
A
/ \\
/ \\
/ \\
/ \\
C /_________\\ B
在这个三角形ABC中，我们画出一个圆，它与三角形的三条边分别相切于D、E、F三点。那么，这个圆就是三角公圆。
二、三角公圆的性质
三角公圆有哪些性质呢？
1. 三角形的外心和三角形的三条中垂线的交点在同一个点上。
我们把三角形的三条边中点连起来，得到三条中垂线。这三条中垂线的交点就叫做三角形的外心。
如下图：
A
/ \\
/ \\
/ \\
/ \\
C /_________\\ B
D E F
在这个三角形中，三条中垂线交于点O，也就是这个三角形的外心。而三角形的外接圆就是过点A、B、C的圆。
2. 三角形三个角的平分线交于同一点。
如下图：
A
/ \\
/ \\
/ \\
/ \\
C /_________\\ B
P Q R
在这个三角形中，三个角的平分线分别为AP、BQ和CR。它们交于同一点，这个点叫做三角形的内心。
3. 过三角形的顶点和三角形的外心的连线垂直于对应的边。
如下图：
A
/ \\
/ \\
/ \\
/ \\
C /_________\\ B
在这个三角形中，过点A的直线与外心O的连线AO垂直于边BC。
三、三角公圆的应用
三角公圆有哪些应用呢？
1. 求三角形的外接圆半径。
如果已知三角形三条边的长度，可以通过海伦公式求出三角形的面积，进而求出外接圆的半径。例如：
已知三角形ABC的三条边分别为a=5, b=6, c=7，求外接圆的半径r。
由海伦公式，可得：s=(a+b+c)/2=9
则三角形ABC的面积为：S=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))=14.7
由外接圆的性质可得：S=abc/4r，因此r=abc/4S=35/24
2. 求三角形的内心坐标。
已知三角形三个顶点的坐标，可以通过求解三个角平分线的交点坐标，来求得三角形的内心坐标。例如：
已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1), B(5,1)和C(3,4)，求内心坐标I。
设内心坐标为I(x,y)，则有：
AI/BI=CI/DI
其中，AI、BI和CI分别为内心到三个顶点的距离，DI为内心到边BC的距离，
由勾股定理可得：
AI=sqrt[(x-1)^2+(y-1)^2]
BI=sqrt[(x-5)^2+(y-1)^2]
CI=sqrt[(x-3)^2+(y-4)^2]
DI=(2S)/a
其中，S为三角形面积，a为边BC的长度，由海伦公式可得：
S=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))=6
a=BC=4
则有：
sqrt[(x-1)^2+(y-1)^2]/sqrt[(x-5)^2+(y-1)^2]=sqrt[(x-3)^2+(y-4)^2]/(2S)/a
求解该方程组即可得到内心坐标。
三角公圆是一个重要的几何图形，它具有许多独特的性质和应用。通过学习它，我们可以更加深入地理解和应用几何学知识。