解一道数学难题作文750

开始我先尝试了一下将$f(x)$化简，发现是一个二次函数。然后我就开始研究如何求得$a+b$的最小值。

由于$f(x)$的图象过点$(1,1)$，所以我们可以列出方程：

$\\frac{1}{1-a}+\\frac{1}{1-b}=1$

将式子化简，得到：

$a+b=ab$

接下来，我将$a+b$用$ab$表示，带入$f(x)$，得到：

$f(x)=\\frac{2x-(a+b)}{x^2-(a+b)x+ab}$

因为$a+b=ab$，所以可以将分母化简为：

$x^2-(a+b)x+ab=x^2-ax-bx+ab=(x-a)(x-b)$

将化简后的式子带入$f(x)$，得到：

$f(x)=\\frac{2x-(a+b)}{x^2-(a+b)x+ab}=\\frac{2x-ab}{(x-a)(x-b)}=\\frac{2}{x-a}-\\frac{2}{x-b}$

因此，$f(x)$可化为两个分式之差。由于这两个分式的分母都是$(x-a)(x-b)$，所以它们的图象均为一个开口朝上或朝下的抛物线。

接下来，我们考虑$a,b$的取值。因为$a0)$。将$b$代入$a+b=ab$，得到：

$a(a+k)=a^2+ak=a+k+b$

移项，得到：

$a^2-(k+1)a+k=0$

因为$a$是正整数，所以根据二次方程的性质，判别式$Δ=k^2+2k+1$必须为完全平方数。

即：

$k^2+2k+1=m^2(m为正整数)$

移项，得到：

$(k+1)^2=m^2+1$

因此，$m$必须是奇数。

接下来我们枚举$k$的值，求出对应的$a,b$和$a+b$的值，如下表所示：

因此，$a+b$的最小值为3。

通过这道题目的解答，我对于二次函数的应用有了更深入的理解，也提高了自己的数学计算能力。